Чтобы привести одночлен к стандартному виду нужно. Урок "Понятие одночлена. Стандартный вид одночлена" методическая разработка по алгебре на тему. Стандартный вид одночлена

Цель: -Познакомится с понятием одночлена;

Выработать умение приводить примеры одночленов

Определять, является ли выражение одночленом,

Указывать его коэффициент и буквенную часть.

Познакомиться с понятием «стандартный вид одночлена»

Ввести алгоритмом приведения одночлена к стандартному виду;

Выработать практические навыки применения алгоритма

приведения одночлена к стандартному виду.

Скачать:

Предварительный просмотр:

Чтобы пользоваться предварительным просмотром презентаций создайте себе аккаунт (учетную запись) Google и войдите в него: https://accounts.google.com


Подписи к слайдам:

ТЕМА: Понятие одночлена. Стандартный вид одночлена Цель: -Познакомится с понятием одночлена; -Выработать умение приводить примеры одночленов -Определять, является ли выражение одночленом, - Указывать его коэффициент и буквенную часть. -Познакомиться с понятием «стандартный вид одночлена» -Ввести алгоритмом приведения одночлена к стандартному виду; Выработать практические навыки применения алгоритма приведения одночлена к стандартному виду.

ОДНОЧЛЕНОМ НАЗЫВАЕТСЯ АЛГЕБРАИЧЕСКОЕ ВЫРАЖЕНИЕ,КОТОРОЕ ПРЕДСТАВЛЯЕТ СОБОЙ ПРОИЗВЕДЕНИЕ ЧИСЕЛ И ПЕРЕМЕННЫХ, ВОЗВЕДЕННЫХ В СТЕПЕНЬ С НАТУРАЛЬНЫМ ПОКАЗАТЕЛЕМ. 2ав, - 4а⁴в⁵, 1,7с⁸в⁴ 0; 2 ; -0,6; х; а; х ⁶ Не являются одночленом выражения вида: а+в; 2х⁴+ 3у⁹; а⁴⁄с ⁸ ПОНЯТИЕ ОДНОЧЛЕНА

Рассмотрим одночлен: 3а∙4 a²b⁵c²bac⁵=3∙4aa²b⁵bc²c=12a³b⁶c³ Математика стремится к чёткости, краткости и порядку. Мы привели одночлен к более короткой записи т.е. к стандартному виду.

Алгоритм. Привести одночлен к стандартному виду и назвать коэффициент одночлена. 3х⁴ yz ∙(-2) xy⁴z ⁸= 3∙(- 2) x⁴∙ х ∙ y⁴∙ y∙z∙z ⁸ = = -6х⁵∙ y⁵∙z ⁹ ¼ab⁴c4c=¼∙4ab⁴(c∙c)=ab⁴c² (3 /10) ав Чтобы привести одночлен к стандартному виду, нужно: 1)Перемножить все числовые множители и поставить их произведение на первое место; 2)Перемножить все имеющиеся степени с одинаковым буквенным основанием; 3)Перемножить все имеющиеся степени с другим буквенным основанием и т. Д. Числовой множитель одночлена записанного в стандартном виде называют коэффициентом одночлена

Привести одночлен к стандартному виду. 1 вариант а) 7с⁴·4с³·8 c⁶ б) 8х²·4 y³·(- 2х ³) 2 вариант а) 6 n²·3n³·9n⁶ б) 15 q⁴·2p²·(-5p⁵)

Проверим ответы самостоятельной работы. 1 вариант а) 244 с¹³ б) -64 x ⁸ у³ 2 вариант а) 162 n ¹¹ б) - 150 q ⁴ p⁷


По теме: методические разработки, презентации и конспекты

Презентация по математике на тему "Понятие одночлена. Стандартный вид одночлена". Презентация составлена для рассмотрения новой темы по математике в 7 классе "Понятие одночлена. Стандартный вид одночл...

понятие одночлена. стандартный вид одночлена

презентация к уроку алгебры в 7 классе на тему "Понятие одночлена. стандартный вид одночлена". даются понятия одночлен, степень одночлена, коэффициент одночлена, стандартный вид одночлена....

В этом уроке мы дадим строгое определение одночлена, рассмотрим различные примеры из учебника. Вспомним правила умножения степеней с одинаковыми основаниями. Дадим определение стандартного вида одночлена, коэффициента одночлена и его буквенной части. Рассмотрим два основных типовых действия над одночленами, а именно приведение к стандартному виду и вычисление конкретного численного значения одночлена при заданных значениях входящих в него буквенных переменных. Сформулируем правило приведения одночлена к стандартному виду. Научимся решать типовые задачи с любыми одночленами.

Тема: Одночлены. Арифметические операции над одночленами

Урок: Понятие одночлена. Стандартный вид одночлена

Рассмотри некоторые примеры:

3. ;

Найдем общие черты для приведенных выражений. Во всех трех случаях выражение является произведением чисел и переменных, возведенных в степень. На основании этого дадим определение одночлена : одночленом называют такое алгебраическое выражение, которое состоит из произведения степеней и чисел.

Теперь приведем примеры выражений, не являющихся одночленами:

Найдем отличие этих выражений от предыдущих. Оно состоит в том, что в примерах 4-7 есть операции сложения, вычитания или деления, тогда как в примерах 1-3, являющихся одночленами, этих операций нет.

Приведем еще несколько примеров:

Выражение под номером 8 является одночленом, так как это произведение степени на число, тогда как пример 9 не является одночленом.

Теперь выясним действия над одночленами .

1.Упрощение. Рассмотрим пример №3 ;и пример №2 /

Во втором примере мы видим только один коэффициент - , каждая переменная встречается только один раз, то есть переменная «а » представлена в единственном экземпляре, как «», аналогично переменные «» и «» встречаются только один раз.

В примере №3 наоборот, есть два различных коэффициента - и , переменную «» мы видим дважды - как «» и как «», аналогично переменная «» встречается два раза. То есть, данное выражение следует упростить, таким образом, приходим к первому действию, выполняемому над одночленами - приведение одночлена к стандартному виду . Для этого приведем к стандартному виду выражение из примера 3, затем определим эту операцию и научимся приводить к стандартному виду любой одночлен.

Итак, рассмотри пример:

Первым действием в операции приведения к стандартному виду всегда нужно перемножить все числовые множители:

;

Результат данного действия будет называться коэффициентом одночлена .

Далее необходимо перемножить степени. Перемножим степени переменной «х » согласно правилу умножения степеней с одинаковыми основаниями, в котором говорится, что при умножении показатели степени складываются:

теперь перемножим степени «у »:

;

Итак, приведем упрощенное выражение:

;

Любой одночлен можно привести к стандартному виду. Сформулируем правило приведения к стандартному виду :

Перемножить все числовые множители;

Поставить полученный коэффициент на первое место;

Перемножить все степени, то есть получить буквенную часть;

То есть, любой одночлен характеризуется коэффициентом и буквенной частью. Забегая вперед, отметим, что одночлены, имеющие одинаковую буквенную часть, называются подобными.

Теперь нужно наработать технику приведения одночленов к стандартному виду . Рассмотри примеры из учебника:

Задание: привести одночлен к стандартному виду, назвать коэффициент и буквенную часть.

Для выполнения задания воспользуемся правилом приведения одночлена к стандартному виду и свойствами степеней.

1. ;

3. ;

Комментарии к первому примеру : Для начала определим, действительно ли данное выражение является одночленом, для этого проверим, есть ли в нем операции умножения чисел и степеней и нет ли в нем операций сложения, вычитания или деления. Можем сказать, что данное выражение является одночленом, так как вышеуказанное условие выполняется. Далее, согласно правилу приведения одночлена к стандартному виду, перемножим численные множители:

- мы нашли коэффициент заданного одночлена;

; ; ; то есть, получена буквенная часть выражения:;

запишем ответ: ;

Комментарии ко второму примеру : Следуя правилу выполняем:

1) перемножить числовые множители:

2) перемножить степени:

Переменные и представлены в единственном экземпляре, то есть их перемножить ни с чем нельзя, они переписываются без изменений, степень перемножается:

запишем ответ:

;

В данном примере коэффициент одночлена равен единице, а буквенная часть .

Комментарии к третьему примеру: а налогично предыдущим примерам выполняем действия:

1) перемножить численные множители:

;

2) перемножить степени:

;

выпишем ответ: ;

В данном случае коэффициент одночлена равен «», а буквенная часть .

Теперь рассмотрим вторую стандартную операцию над одночленами . Поскольку одночлен это алгебраическое выражение, состоящее из буквенных переменных, которые могут принимать конкретные числовые значения, то мы имеем арифметическое числовое выражение, которое следует вычислить. То есть, следующая операция над многочленами состоит в вычислении их конкретного числового значения .

Рассмотрим пример. Задан одночлен:

данный одночлен уже приведен к стандартному виду, его коэффициент равен единице, а буквенная часть

Ранее мы говорили, что алгебраическое выражение не всегда можно вычислить, то есть переменные, которые в него входят, могут принимать не любое значение. В случае одночлена же входящие в него переменные могут быть любыми, это является особенностью одночлена.

Итак, в заданном примере требуется вычислить значение одночлена при , , , .

Мы отметили, что любой одночлен можно привести к стандартному виду . В этой статье мы разберемся, что называют приведением одночлена к стандартному виду, какие действия позволяют осуществить этот процесс, и рассмотрим решения примеров с подробными пояснениями.

Навигация по странице.

Что значит привести одночлен к стандартному виду?

С одночленами удобно работать, когда они записаны в стандартном виде . Однако достаточно часто одночлены задаются в виде, отличном от стандартного. В этих случаях всегда можно перейти от исходного одночлена к одночлену стандартного вида, выполнив тождественные преобразования . Процесс проведения таких преобразований называют приведением одночлена к стандартному виду.

Обобщим приведенные рассуждения. Привести одночлен к стандартному виду – это значит выполнить с ним такие тождественные преобразования, чтобы он принял стандартный вид.

Как привести одночлен к стандартному виду?

Пришло время разобраться с тем, как приводить одночлены к стандартному виду.

Как известно из определения, одночлены нестандартного вида представляют собой произведения чисел, переменных и их степеней, причем, возможно, повторяющихся. А одночлен стандартного вида может содержать в своей записи только одно число и неповторяющиеся переменные или их степени. Теперь осталось понять, как произведения первого вида привести к виду вторых?

Для этого нужно воспользоваться следующим правилом приведения одночлена к стандартному виду , состоящим из двух шагов:

  • Во-первых, выполняется группировка числовых множителей, а также одинаковых переменных и их степеней;
  • Во-вторых, вычисляется произведение чисел и применяется .

В результате применения озвученного правила любой одночлен будет приведен к стандартному виду.

Примеры, решения

Осталось научиться применять правило из предыдущего пункта при решении примеров.

Пример.

Приведите одночлен 3·x·2·x 2 к стандартному виду.

Решение.

Сгруппируем числовые множители и множители с переменной x . После группировки исходный одночлен примет вид (3·2)·(x·x 2) . Произведение чисел в первых скобках равно 6 , а правило умножения степеней с одинаковыми основаниями позволяет выражение во вторых скобках представить как x 1 +2=x 3 . В итоге получаем многочлен стандартного вида 6·x 3 .

Приведем краткую запись решения: 3·x·2·x 2 =(3·2)·(x·x 2)=6·x 3 .

Ответ:

3·x·2·x 2 =6·x 3 .

Итак, для приведения одночлена к стандартному виду необходимо уметь проводить группировку множителей, выполнять умножение чисел, и работать со степенями.

Для закрепления материала решим еще один пример.

Пример.

Представьте одночлен в стандартном виде и укажите его коэффициент.

Решение.

Исходный одночлен имеет в своей записи единственный числовой множитель −1 , перенесем его в начало. После этого отдельно сгруппируем множители с переменной a , отдельно – с переменно b , а переменную m группировать не с чем, оставим ее как есть, имеем . После выполнения действий со степенями в скобках одночлен примет нужный нам стандартный вид , откуда виден коэффициент одночлена , равный −1 . Минус единицу можно заменить знаком минус: .

I. Выражения, которые составлены из чисел, переменных и их степеней, при помощи действия умножения называются одночленами.

Примеры одночленов:

а) a; б) ab; в) 12; г) -3c; д) 2a 2 ∙(-3,5b) 3 ; е) -123,45xy 5 z; ж) 8ac∙2,5a 2 ∙(-3c 3).

II. Такой вид одночлена, когда на первом месте стоит числовой множитель (коэффициент), а за ним переменные с их степенями, называют стандартным видом одночлена.

Так, одночлены, приведенные выше, под буквами а), б), в), г) и е) записаны в стандартном виде, а одночлены под буквами д) и ж) требуется привести к стандартному виду, т. е. к такому виду, когда на первом месте стоит числовой множитель, а за ним записывают буквенные множители с их показателями, причем, буквенные множители стоят в алфавитном порядке. Приведем одночлены д) и ж) к стандартному виду.

д) 2a 2 ∙(-3,5b) 3 =2a 2 ∙(-3,5) 3 ∙b 3 =-2a 2 ∙3,5∙3,5∙3,5∙b 3 =-85,75a 2 b 3 ;

ж) 8ac∙2,5a 2 ∙(-3c 3) =-8∙2,5∙3a 3 c 3 =-60a 3 c 3 .

III. Сумму показателей степеней всех переменных, входящих в состав одночлена, называют степенью одночлена.

Примеры. Какую степень имеют одночлены а) — ж)?

а) a. Первую;

б) ab. Вторую: а в первой степени и b в первой степени-сумма показателей 1+1=2 ;

в) 12. Нулевую, так как буквенных множителей нет;

г) -3c. Первую;

д) -85,75a 2 b 3 . Пятую. Мы привели этот одночлен к стандартному виду, имеем а во второй степени и b в третьей. Складываем показатели: 2+3=5 ;

е) -123,45xy 5 z. Седьмую. Сложили показатели степеней буквенных множителей: 1+5+1=7 ;

ж) -60a 3 c 3 . Шестую, так как сумма показателей буквенных множителей 3+3=6 .

IV. Одночлены, имеющие одинаковую буквенную часть, называются подобными одночленами.

Пример. Указать подобные одночлены среди данных одночленов 1) -7).

1) 3aabbc; 2) -4,1a 3 bc; 3) 56a 2 b 2 c; 4) 98,7a 2 bac; 5) 10aaa 2 x; 6) -2,3a 4 x; 7) 34x 2 y.

Приведем одночлены 1), 4) и 5) к стандартному виду. Тогда строчка данных одночленов будет выглядеть так:

1) 3a 2 b 2 c; 2) -4,1a 3 bc; 3) 56a 2 b 2 c; 4) 98,7a 3 bc; 5) 10a 4 x; 6) -2,3a 4 x; 7) 34x 2 y.

Подобными будут те, которые имеют одинаковую буквенную часть, т.е. 1) и 3) ; 2) и 4) ; 5) и 6).

1) 3a 2 b 2 c и 3) 56a 2 b 2 c;

2) -4,1a 3 bc и 4) 98,7a 3 bc;

5) 10a 4 x и 6) -2,3a 4 x.

Понятие одночлена

Определение одночлена: одночлен - это алгебраическое выражение, в котором используется только умножение.

Стандартный вид одночлена

Что такое стандартный вид одночлена? Одночлен записан в стандартном виде, если в нём на первом месте стоит числовой множитель и этот множитель, его называют коэффициентом одночлена, только один в одночлене, буквы одночлена расположены в алфавитном порядке и каждая буква встречается только один раз.

Пример одночлена в стандартном виде:

здесь на первом месте число, коэффициент одночлена, и это число только одно в нашем одночлене, каждая буква встречается только один раз и буквы расположены в алфавитном порядке, в данном случае это латинский алфавит.

Ещё пример одночлена в стандартном виде:

каждая буква встречается лишь однажды, расположены они в латинском алфавитном порядке, но где коэффициент одночлена, т.е. числовой множитель, который должен стоять на первом месте? Он здесь равен единице: 1adm.

Коэффициент одночлена может быть отрицательным? Да, может, пример: -5a.

Коэффициент одночлена может быть дробным? Да, может, пример: 5,2a.

Если одночлен состоит только из числа, т.е. не имеет букв, как привести его к стандартному виду? Любой одночлен, представляющий собой число, уже находится в стандартном виде, пример: число 5 - это одночлен стандартного вида.

Приведение одночленов к стандартному виду

Как привести одночлен к стандартному виду? Рассмотрим примеры.

Пусть дан одночлен 2a4b, нужно привести его к стандартному виду. Перемножаем два его числовых множителя и получаем 8ab. Теперь одночлен записан в стандартном виде, т.е. имеет только один числовой множитель, записанный на первом месте, каждая бува в одночлене встречается только один раз и расположены эти буквы в алфавитном порядке. Итак, 2a4b = 8ab.

Дано: одночлен 2a4a, привести одночлен к стандартному виду. Перемножаем числа 2 и 4, произведение aa заменяем второй степенью a 2 . Получаем: 8a 2 . Это стандартный вид данного одночлена. Итак, 2a4a = 8a 2 .

Подобные одночлены

Что такое подобные одночлены? Если одночлены различаются только лишь коэффициентами или равны, то они называются подобными.

Пример подобных одночленов: 5a и 2a. Эти одночлены различаются только коэффициентами, значит они подобны.

Подобны ли одночлены 5abc и 10cba? Приведем к стандартному виду второй одночлен, получим 10abc. Теперь видно, что одночлены 5abc и 10abc отличаются только своими коэффициентами, а это означает, что они подобны.

Сложение одночленов

Чему равна сумма одночленов? Суммировать мы можем только подобные одночлены. Рассмотрим пример сложения одночленов. Чему равна сумма одночленов 5a и 2a? Суммой этих одночленов будет одночлен, подобный им, коэффициент которого равен сумме коэффициентов слагаемых. Итак, сумма одночленов равна 5a + 2a = 7a.

Ещё примеры сложения одночленов:

2a 2 + 3a 2 = 5a 2
2a 2 b 3 c 4 + 3a 2 b 3 c 4 = 5a 2 b 3 c 4

Ещё раз. Складывать можно только подобные одночлены, сложение сводится к сложению их коэффициентов.

Вычитание одночленов

Чему равна разность одночленов? Вычитать мы можем только подобные одночлены. Рассмотрим пример вычитания одночленов. Чему равна разность одночленов 5a и 2a? Разностью этих одночленов будет одночлен, подобный им, коэффициент которого равен разности коэффициентов данных одночленов. Итак, разность одночленов равна 5a - 2a = 3a.

Ещё примеры вычитания одночленов:

10a 2 - 3a 2 = 7a 2
5a 2 b 3 c 4 - 3a 2 b 3 c 4 = 2a 2 b 3 c 4

Умножение одночленов

Чему равно произведение одночленов? Рассмотрим пример:

т.е. произведение одночленов равно одночлену, множители которого составлены из множителей исходных одночленов.

Ещё пример:

2a 2 b 3 * a 5 b 9 = 2a 7 b 12 .

Как получился такой результат? В каждом сомножителе имеется «а» в степени: в первом - «а» в степени 2, а во втором - «а» в степени 5. Значит в произведении будет «а» в степени 7, ведь при умножении одинаковых букв показатели их степеней складываются:

A 2 * a 5 = a 7 .

Это же относится и к сомножителю «b».

Коэффициент первого сомножителя равен двум, а второго - одному, поэтому получаем в результате 2 * 1 = 2.

Вот так посчитался результат 2a 7 b 12 .

Из этих примеров видно, что коэффициенты одночленов перемножаются, а одинаковые буквы заменяются суммами их степеней в произведении.

Статьи по теме: